Les indices de Miller

Les indices de Miller sont une manière de désigner les plans dans un cristal :
Soit les axes de coordonnées X,Y,Z.
Par définition, en cristallographie, la notation des axes se fera comme suit :
axe X ou I est dirigé vers l’observateur, axe Y ou II est dirigé vers la droite et axe Z ou III est vertical.
Les directions positives et négatives sont représentées sur la figure ci contre.

Une face quelconque du cristal coupera soit un axe, soit deux axes, soit les trois axes.
Soit la face abc qui coupe l' axe X en a, l'axe Y en b et l'axe Z en c. La face abc coupe les axes suivant les coordonnées a=1, b=2, c=3. L'inverse des coordonnées des intersections avec les axes X,Y,Z donne les indices de Miller, Ces indices sont notés entre parenthèse (hkl) ou h = 1/a, k = 1/b et l = 1/c.
Ce qui donne pour la face abc ( 1/1,1/2,1/3 ). On obtient trois fractions inférieures à l'unité dont les rapports réciproques peuvent toujours être exprimés par trois nombres entiers ( 6/1,6/2,6/3 ) soit ( 6,3,2 ). Il existe une infinité de plans parallèles à ce plan a=2,b=4,c=6,...
On désigne cette famille par (hkl) ou dans notre exemple (6 3 2).
Les trois entiers h, k et l sont les indices de Miller de la famille de plans.
 

Les indices de Miller d'une famille de plans sont les inverses des longueurs découpées sur les axes par le premier plan de la famille qui ne contient pas l'origine.

Lorsque le plan est parallèle à un des axes, l’intersection de ce plan avec les axes donnera les valeurs -3 pour l’axe X, 4 pour l’axe Y et aucune valeur pour l’Axe Z. On dit que la valeur de l’intersection avec l’axe Z est l’infini (w). Les indices de Miller de cette face deviennent l’inverse de ces longueurs (-1/3 1/4 1/w). Si on exprime ces nombres afin d’obtenir des nombres entiers rapportés, les indices se notent (-4 3 0). En effet, 1/w = 0.

Une de ces coordonnées est négative. Par convention, l’indice de Miller s’inscrit avec une barre au-dessus du chiffre. Par facilité, nous placerons la barre devant le chiffre. Il faut lire «barre 4» et non moins 4.

La figure ci-contre montre un plan parallèle aux deux axes X et Z. L’intersection de ce plan avec les trois axes donnera (w,5,w). Les indices de Miller de cette face deviennent (-1/w 1/5 1/w) c’est à dire (0 1 0).

Si on imagine un plan horizontal à la valeur de z=5, l’intersection de ce plan avec les 3 axes donnera ( w, w, 5). Les indices Miller pour cette face seront (1/w 1/w 1/5) c’est à dire (0 0 1).

 







Dans le cas des structures à symétrie hexagonale et trigonale comme en fait partie la calcite, on utilise quatre axes de coordonnées afin de résoudre un problème de notation des faces. L’axe Z est identique a ce qui a été dit plus haut, il est perpendiculaire aux plans de la figure ci-contre.  Les axes X et Y sont remplacés par X, Y et U, l’angle entre les axes étant de 120°. L’ axe Y est dirigé vers la droite, axe X et l’axe U sont dirigés vers l’observateur, axe X à gauche et l’axe -U à droite. Par convention, on note -U la partie négative de l’axe U. Dans cette configuration, un quatrième indice est ajouté. L’ indice i, placé en troisième position, est redondant (les trois indices h, k et l suffisent à eux seuls à définir un plan). Cet indice est défini par i = -h-k. L’ indice de Miller pour une face d’un plan d’un cristal faisant partie des systèmes hexagonal et trigonal est (h k i l).

L'exemple suivant permet de comprendre cette représentation.

Dans le placement à 4 axes, le plan ( 1 1 -2 0) se représente comme suit: l'axe Z, non représenté est perpendiculaire aux axes X,Y,U et  x,y,u,z sont les intersections de la face avec respectivement les axes X,Y,U et Z. 

x = 2
y = 2
u = -1
z = w

Ce qui donne en notations de Miller (2/2 2/2 2/-1 2/w) soit (1 1 -2 0). On démontre (géométrie euclidienne) que dans cette représentation à 4 axes, l’indice de Miller i = -(h+k). La notation de Miller (h k i l ) pour cette face se note (1 1 . 0), le point remplaçant la valeur de i qui est toujours égale à -(h+k).

Pour représenter l’ ensemble des plans qui répondent aux règles de symétrie du système cristallin, nous noterons entre accolades les indices: {h k.l}.